Курортный парк в Ессентуках Рубль Петра 1 Залотая полтина Карта России Карта Петербурга Замок Иф Карта автодорог Беларуси Студия ЛУВР Карта Беларуси Цены на авто В Минске
МИНСК. СТУДИЯ "ЛУВР"
Карта Мира
Страны, столицы
Карта дорог России
3. Задача семи мостов
Задача Эйлера. Мосты Кенигсберга

История мостов
Например: Задача семи мостов. Кенигсберг.
ПУТЕШЕСТВИЯ ПО БЕЛАРУСИ
Belarus Photo
Это страна замков!
Экскурсии по Минску
ФОТОГРАФИИ МИНСКА
Фото. Верстовой столб
Минск 50-х сегодня
Фотографии Минска
ФОТОГРАФИИ МИНСКА
Фото. Верстовой столб
Минский тракторный МТЗ
Минский автобусный МАЗ
Наш сайт на -> Facebook
Города на Волге Про Волгу Миллионники России Nemiga Discovery-Belarus Belarus-Nemiga Минск 12 месяцев Средневековые города Беларуси Polotsk Могилев Grodno Nesvizh
На главную
1. История мостов Кенигсберга
2. Мосты Калининграда
Калининград
Карта Калининграда
Куршская Коса
Про Таймыр
Красноярские столбы
Карта Красноярска
Красноярский край
Красноярская ГЭС
Про Ростов
Про Ростов
Карта Ростова
Павел-1 и Наполеон
Поход на Индию-1
Поход на Индию-2
А здесь про Павла-1
Сказ про Кремль
Депутаты госдумы
Николай Валуев
Анатолий Карпов
Валентина Терешкова
Мария Максакова
Мприя Кожевникова
Что натворили французы в 1812
Смотрим карту
Красная Площадь
Площадь 3-х вокзалов
Площадь революции
Проспект Сахарова
Триумфальная площадь
Болотная площадь
Новые границы Москвы
Это это Сколько - Во!
Белорусский вокзал
Казанский вокзал
Ленинградский вокзал
Ярославский вокзал
Киевский вокзал
Курский вокзал
Метро Комсомольская
Гостиница Ленинградская
Штаб квартира Газпрома
Прогулка по Арбату
Собор Покрова на Рву
Храм Христа Спасителя
Кремль в 1812 г.
Кремль сегодня
В чем пойти в Кремль
Наш ответ турецкому султану
Наш ответ
турецкому султану!!
Карта России
Карта России
Карта центра Москвы
Карта центра Москвы
Карта Петербурга
Карта центра Киева
Схема метро Москвы
Схема метро Москвы
Карта Беларуси
Карта центра Москвы
Карта Подмосковья
Фото садового кольца
Карта России
Карта Н.Новгорода
Кремль в Н.Новгороде
В Ростове есть кремль?
Ярославский Кремль
Карта Ярославля
Ярославская область
Каков он -ЯК-42
Карта Китая
Карта Казахстана
Фото Астаны
Карта Астаны
Карта Средней Азии
Удивительная история с восшествием на престол Екатерины 1
Женские хитрости
Дом Романовых
Потемкин
Список турфирим Минска
Список турфирим Минска
Мисс Интерконтиненталь
Фотостудия в Минске
Фотостудия в Минске

Туристическая карта Минска
Туристическая карта Минска



Rating All.BY

Каталог TUT.BY
Rambler's Top100
Немига.Инфо 2003-2018
vic2005@mail.ru
Все права защищены!


3. Задача семи мостов
Возможно ли найти такой маршрут, позволявший перейти все семь мостов, не ступив ни на один из них дважды

>Кенигсберг. Задача семи мостов. фото
Задача семи мостов. Кенигсберг

Как-то раз обещался рассказать про семь мостов Кёнигсберга – эта история должна быть хорошо известна среди математиков, а также быть на слуху для любознательных калининградцев. "Проблема семи мостов" легко нагугливается в сети, и единственным минусом множества посвящённых ей упоминаний мне представляется беллетризация текстов, отсутствие в них математического и логического анализа.

Что же это за задача, как она возникла и была разрешена.

Летопись Тевтонского ордена повествует нам, что в 1255 году великий магистр Поппо фон Остернa (Poppo von Osterna) вместе с чешским королём Оттокаром II Пржемыслом (Ottokar, Premysl Otakar), призванным на помощь в очередной крестовый поход против прусских язычников, заложили в нижнем течении реки Прегель замок, орденскую крепость, получившую название в честь Оттокара - Королевская гора – Кёнигсберг - Konigsberg. В 1257 году замок и будущий Альтштадт (Altstadt, Старый город) были обнесены рвом, в 1262 году после осады замка восставшими пруссами начинается кладка каменных стен. Почти сразу же по соседству появляются поселения - Альтштадт, Кнайпхоф (Kneiphof) и Лёбенихт (Lobenicht), каждое из которых получило права города в конце XIII – начале XIV века. Каждый из городов имел свой герб, у каждого были своё городское управление, свой суд и т.п., объединились они лишь в 1724 году, но обобщающее название Кёнигсберг закрепилось за ними со времени основания.    >>>

    Задача семи мостов

    Итак, мостов стало семь, а возможных маршрутов - тысячи, и некоторые горожане стали задаваться вопросом, возможно ли найти такой маршрут, позволявший перейти все семь мостов, не ступив ни на один из них дважды. Существовало даже поверье, согласно которому у проложившего такой маршрут должно исполниться загаданное желание.    Еще >>>


Леонард Эйлер
Портрет 1753 года работы Эмануэля Хандманна

Леонард Эйлер. Портрет 1753 года работы Эмануэля Хандманна фото
Леонард Эйлер. Портрет 1753 года работы Эмануэля Хандманна

Решить задачу о Кёнигсбергских мостах удалось лишь в 1736 году, когда проблемой заинтересовался академик Санкт-Петербургской Академии, профессор высшей математики Леонард Эйлер (Leonhard Euler), фактически положивший начало новому разделу математики – теории графов. Интерес Эйлера к задаче был, вероятно, инициирован его перепиской с математиком и астрономом, будущим бургомистром Данцига (и почти однофамильцем) Карлом Элером (Carl Leonhard Gottlieb Ehler). На рисунке ниже – схема задачи из письма Элера – Эйлеру от 9 марта 1736 года.   отсюда >>>

Мосты Кенигсберга

Зелёный мост, 1935. фото
Уже 13 марта 1736 года Эйлер в письме к придворному астроному австрийских Габсбургов Джованни Маринони (Giovanni Jacobo Marinoni) сообщил, что "…нашел лёгкое правило, основанное на вполне убедительном доказательстве, с помощью которого можно во всех задачах такого рода тотчас же определить, может ли быть совершён такой обход через какое угодно число и как угодно расположенных мостов или не может", и изложил итальянцу это правило.

Авторы многих популярных статей, посвящённых семи мостам, не удосужившись заглянуть в оригинальную работу Эйлера "Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis" ("Решение вопроса, связанного с геометрией положения"), датированную 1736 годом, и опубликованную в 1741 году в (первом русском) научном журнале-сборнике "Комментарии Петербургской Академии наук", сообщают, что тот абстрагировался от формы всех составляющих схемы и заменил их тем, что сегодня принято называть графом (рисунком в виде сети, что-то вроде того, что размещён чуть ниже) так, чтобы точки на суше стали вершинами, а мосты - дугами.    >>>

Схема задачи из статьи Эйлера
Мосты Кенигсберга

Схема задачи из статьи Эйлера.  фото
Схема задачи из статьи Эйлера

Эйлер предложил строгое аналитическое решение на основе следующих соображений.

Маршрут прохода по мостам можно представить последовательностью A-B-D-C… Число символов (вершин) в маршруте, который проходит по каждому мосту один раз, на 1 больше числа мостов в маршруте, поскольку каждая пара соседних вершин-символов соответствует переходу по одному мосту.

Основное соображение Эйлера заключалось в том, что если вершина (к примеру, А) не является концевой точкой маршрута, то она соответствует проходу по двум мостам, соединяющим вершину А с другими вершинами. А если вершина является концевой точкой – то проходу по одному мосту.

Отсюда следует, что если маршрут проходит по N мостам, соединяющим вершину А с другими вершинами, то символ А появляется в записи маршрута (N+1)/2 раз, если N нечётное (и при этом один раз А является концевой точкой маршрута), а если Nчётное – то либо N/2, либо N/2+1 раз (в последнем случае маршрут начинается и заканчивается символом А). Эйлер отмечает, что у каждого моста-дуги – два конца и что поэтому сумма чисел мостов, соединяющих каждую из вершин с остальными, вдвое превосходит общее число мостов и поэтому должна быть чётной; но тогда число вершин, в которых заканчивается нечётное число мостов, тоже должно быть чётным. Из этих соображений Эйлер выводит, что если общее число дуг-мостов в задаче равно M, а число вершин с нечётным числом мостов равно 2m, то запись маршрута, проходящего по всем мостам, должна содержать M+m символов, что больше M+1, если m>1.

В современной теории графов путь, проходящий по одному разу по всем дугам графа, называют эйлеровым путём, а замкнутый эйлеров путь – эйлеровым циклом. Условия существования таких путей очень просты:

1. Сеть, не имеющая нечётных вершин, допускает эйлеров цикл с началом в любой точке сети.

2. Сеть, имеющая две и только две нечётных вершины, обходится по эйлеровому пути, если начать движение с одной нечётной вершины и закончить его в другой.

3. Сеть, имеющую больше двух нечётных вершин, нельзя полностью обойти одним маршрутом.

Кёнигсбергская сеть имеет 4 вершины, в каждой из которых сходится нечётное число дуг-мостов: все вершины – нечётные (N для них равны 3,3,3 и 5), следовательно, требуемого маршрута – не существует.

Долгое время – свыше ста лет - статья Эйлера была единственной в своей области, и лишь во второй половине XIX века интерес к подобным задачам возродился в связи со знаменитой "проблемой четырёх красок", поставленной в 1852 году перед математиками Огастесом Де Морганом (Augustus de Morgan), а позже - с исследованиями электрических и логистических сетей, моделей кристаллов и молекулярных структур.

Эйлер в письме к Маринони указал, что достаточно построить ещё один мост через Прегель, и задача обхода одним маршрутом восьми мостов, каждого по одному разу, становится разрешимой. (В современных терминах это не будет эйлеров цикл, а будет эйлеров путь - по причине того, что две вершины останутся нечётными, и стартовать придётся в одной из них, а заканчивать обход всех восьми мостов – в другой.) В этой связи весьма популярной является легенда о появлении на карте Кёнигсберга восьмого моста, связывающего остров Ломзе с Форштадтом. Якобы на одном из приёмов приглашённые гости вздумали подшутить над кайзером Вильгельмом II, предложив тому решить задачу о мостах. Вильгельм, к всеобщему удивлению, заявил, что он решит задачу в считанные минуты, а на поданном листе бумаги написал: "Приказываю построить восьмой мост на остров Ломзе". Этот возведённый в 1905 году мост назвали "Императорским" (Kaiserbrucke).

Мосты Кенигсберга
Императорский мост, 1905 год

Мосты Кенигсберга. Высокий мост, 1916 год.  фото
Императорский мост, 1905 год

Эйлер в письме к Маринони указал, что достаточно построить ещё один мост через Прегель, и задача обхода одним маршрутом восьми мостов, каждого по одному разу, становится разрешимой. (В современных терминах это не будет эйлеров цикл, а будет эйлеров путь - по причине того, что две вершины останутся нечётными, и стартовать придётся в одной из них, а заканчивать обход всех восьми мостов – в другой.)

В этой связи весьма популярной является легенда о появлении на карте Кёнигсберга восьмого моста, связывающего остров Ломзе с Форштадтом. Якобы на одном из приёмов приглашённые гости вздумали подшутить над кайзером Вильгельмом II, предложив тому решить задачу о мостах. Вильгельм, к всеобщему удивлению, заявил, что он решит задачу в считанные минуты, а на поданном листе бумаги написал: "Приказываю построить восьмой мост на остров Ломзе". Этот возведённый в 1905 году мост назвали "Императорским" (Kaiserbrucke).

Мосты Калининграда сегодня
Юбилейный мост

Мосты Калининграда сегодня. Юбилейный мост.  фото
Мосты Калининграда сегодня. Юбилейный мост

Императорский мост был частично разрушен во время войны, но две опоры и центральный разводной пролёт простояли на реке до 80-х годов. 1 июля 2005 года, к 750-летию города на быках-опорах был выстроен новый мост, Юбилейный, внешне напоминающий Императорский. Также, как и у Медового, ограды моста скрыты под панцирем из замк?в.

novosti-belarus. Minsk
No Comment?   No!   Comment!
Более подробную информацию об этом можно узнать, кликнув по картинке...

Депутаты Госдумы нового созыва. Кенигсберг.. Россия. Задача семи мостов. Таежный пейзаж. Пьяный лес. Чудеса природы в России. Горы в тайге. Таежная речка. Сюда не ступала нога человека наверное лет сто.... Где находятся. Сайт. Фото. Картинка. Реферат. Реферат. Панорама кремля. Вид на кремль. Сайт. Фото.

И где эти Три вокзала
Флаг России
Про город Тольятти
Жигулевские горы
Жигулевская ГЭС
Про Самару
Про Сызрань
Про Красноярск
Красноярский край
Карта Красноярска
Про грод Иркутск
Карта Байкала
Про озеро Байкал
Про реку Волгу
Города на Волге
Город Самара
Город Сызрань
Московский Кремль
Ярославский Кремль
Карта Ярославля
Фото Ярославля
Мобильный патруль Фото Беларуси
Мобильный патруль!
Ну что? Захостимся!
Кенигсберг.. Валентина Терешкова, первая женщина-космонавт. Россия. Задача семи мостов. Таежный пейзаж. Пьяный лес. Чудеса природы в России. Горы в тайге. Таежная речка. Сюда не ступала нога человека наверное лет сто.... Где находятся. Сайт. Фото. Картинка. Реферат. Тут как в сказке - скрипнула дверь!
Почем нынче звезды?
Курсы обмена Валют
Фотостудия "Лувр"
История фирмы Нокия
Продажа картин в Минске
Минский вернисаж
Мисс Интерконинталь
Авторынки Минска
Как добраться?
Рекламные агентства
Адреса ресторанов Минска
Достопримечательности Минска. Интересные места города
Интересные места города
Минск 50-х сегодня. Карта Минска
Минск 50-х сегодня
Discovery-Belarus
Belarus-Nemiga
Belarusian Discovery
National-geographic
Discovery-science
Animal-planet
Belarusian Hhistory
Discovery Civilisation
Гербы городов Беларуси
Беловежская пуща
Пальмы на Минском море? Фото Беларуси
Где это Минское море?
О городах Беларуси
Дворец Паскевичей
Музыкальная столица?
Анастасия жила в Слуцке
Гродно. Корона Батория
Нарочь - озеро или курорт
Орша-город на Днепре
Средневековый Полоцк
Борисов-Борисфен!
География Москвы
Садовое кольцо
Бульварное кольцо
Кутузовский проспект
Фото Москвы в масштабе:
1 см. - 2.5 км

Немига.Инфо 2003-2015
vic2005@mail.ru
Связь по ICQ 288-702-522 288702522
Все права защищены!

Наш e-mail vic2005@mail.ru    Студия "Лувр" представляет:
Studio Louvre. Minsk